試題分析:(1)解決新定義問題,關(guān)鍵根據(jù)“定義”列條件,當(dāng)
時(shí),在
中,令
得
即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051429897452.png" style="vertical-align:middle;" />所以
即
故
成等差數(shù)列,(2)根據(jù)“定義”,將所求數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.當(dāng)
時(shí),
,因?yàn)閿?shù)列
的各項(xiàng)均為正數(shù),所以數(shù)列
是等比數(shù)列,設(shè)公比為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430053508.png" style="vertical-align:middle;" />成等差數(shù)列,所以
即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430178597.png" style="vertical-align:middle;" />所以
,
,解得
或
(舍去負(fù)值).所以
或
,(3)存在性問題,通常從假設(shè)存在出發(fā),列等量關(guān)系,將是否存在轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程是否有解. 先從必要條件入手
,再從充分性上證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430334704.png" style="vertical-align:middle;" />所以
所以
即
得
所以
而
試題解析:[解] (1)當(dāng)
時(shí),在
中,令
得
即
2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051429897452.png" style="vertical-align:middle;" />所以
即
故
成等差數(shù)列 4分
(2)當(dāng)
時(shí),
,因?yàn)閿?shù)列
的各項(xiàng)均為正數(shù)
所以數(shù)列
是等比數(shù)列 6分
設(shè)公比為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430053508.png" style="vertical-align:middle;" />成等差數(shù)列,所以
即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430178597.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
,
8分
解得
或
(舍去負(fù)值).所以
或
10分
(3)存在常數(shù)
使
(僅給出結(jié)論2分)
(或從必要條件入手
)
證明如下:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430334704.png" style="vertical-align:middle;" />所以
所以
即
12分
由于
此等式兩邊同除以
得
14分
所以
即當(dāng)
都有
16分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051431036890.png" style="vertical-align:middle;" />所以
所以
所以對任意
都有
此時(shí)
18分