Question

（本小題滿分12分）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線l的方程為．請寫出點(diǎn)P到直線l的距離，并加以證明．

Answer 1

解：點(diǎn)P到直線l的距離公式為．   ————3分
證法1：過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．若A = 0，則直線l的方程為，此時點(diǎn)P到直線l的距離為，而，可知結(jié)論是成立的．                                        ————5分
若，則直線PH的斜率為，方程為，與直線l的方程聯(lián)立可得

解得，
————9分
據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得
．
————12分
證法2：若B = 0，則直線l的方程為，此時點(diǎn)P到直線l的距離為
；
若，則直線l的方程為，此時點(diǎn)P到直線l的距離為
；
若，，過點(diǎn)P作y軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作直線l于y軸的垂線，交直線l于點(diǎn)Q，設(shè)直線l的傾斜角為，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232026201731810.png" style="vertical-align:middle;" />，
，
所以，．綜上，．
證法３：過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．則直線PH的一個方向向量對應(yīng)于直線l的一個法向量，而直線l的一個法向量為，又線段PH的長為d，所以
或
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則，可得

把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入直線l的方程得

整理得，解得．
證法４：過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為H．在直線l上任取一點(diǎn)Q，直線PH的一個方向向量為，據(jù)向量知識，向量在向量上的投影的絕對值恰好是線段PH的長，因此

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232026208901381.png" style="vertical-align:middle;" />，而點(diǎn)滿足，所以．因此．

略