Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線參數(shù)方程為為參數(shù))，將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，得到曲線.

（1）求曲線的普通方程；

（2）過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求取得最小值時(shí)的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）利用消去參數(shù)，求得曲線的直角坐標(biāo)方程.根據(jù)坐標(biāo)變換的知識(shí)求得的普通方程.

（2）設(shè)出直線的參數(shù)方程，代入的方程并寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得弦長(zhǎng)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)最值的求法求得取得最小值時(shí)的值.

（1）將曲線參數(shù)方程為參數(shù))的參數(shù)消去，得到直角坐標(biāo)方程為，設(shè)上任意一點(diǎn)為，經(jīng)過伸縮變換后的坐標(biāo)為，由題意得：

，故；

（2）過點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程為：為參數(shù))，帶入的方程得：，

記對(duì)于的參數(shù)分別為，，

，

故當(dāng)時(shí)，.