以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1),傾斜角.
(1)寫(xiě)出直線的參數(shù)方程;
(2)設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)A、B,求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積.
(1)(2)2
【解析】本題考查了直線的參數(shù)方程、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.請(qǐng)同學(xué)們注意解題過(guò)程中用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求的思想方法.
(I)設(shè)出直線l上任意一點(diǎn)Q,利用直線斜率的坐標(biāo)公式可得到坐標(biāo)的關(guān)系:(y-1):(x-1)=1:,再令x-1= t,以t為參數(shù),可以得到直線l的參數(shù)方程;
(II)將圓ρ=2化成普通方程,再與直線的參數(shù)方程聯(lián)解,得到一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程.再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式,可得出P到A、B兩點(diǎn)的距離之積.
解:(I)直線的參數(shù)方程是
---5分
(II)因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在直線l上,所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1和t2,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為.
圓化為直角坐標(biāo)系的方程.
以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到
①
因?yàn)閠1和t2是方程①的解,從而t1t2=-2.
所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2. -----------------(12分)
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