【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn . 若對(duì)n∈N* , 總k∈N* , 使得Sn=ak , 則稱數(shù)列{an}是“G數(shù)列”. (Ⅰ)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公差d=﹣1.證明:數(shù)列{an}是“G數(shù)列”;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n(n∈N*),判斷數(shù)列{an}是否為“G數(shù)列”,并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)證明:對(duì)任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個(gè)“G數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.
【答案】解:(1)證明:由題意an=1+(n﹣1)(﹣1)=2﹣n, ,
若 ,
則 .
所以,存在k∈N* , 使得Sn=ak .
所以,數(shù)列{an}是“G數(shù)列.
(Ⅱ)首先a1=S1=3,
當(dāng)n≥2時(shí), ,
所以
當(dāng)n=2時(shí),9=2×3k﹣1 , 得kN*因此數(shù)列{an}不是“G數(shù)列”.
(Ⅲ)若dn=bn,(b為常數(shù)),
則數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和 是數(shù)列{dn}中的第 項(xiàng),因此數(shù)列{dn}是“G數(shù)列”.
對(duì)任意的等差數(shù)列{an},an=a1+(n﹣1)d,(d為公差),
設(shè)bn=na1 , cn=(d﹣a1)(n﹣1),
則an=bn+cn , 而數(shù)列{bn}和{cn}都是“G數(shù)列”.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)G數(shù)列的定義證明即可,(Ⅱ)由 ,可以判斷數(shù)列{an}不是“G數(shù)列”,(Ⅲ)若dn=bn,(b為常數(shù)),可與判斷數(shù)列{dn}是“G數(shù)列”,繼而可以證明an=bn+cn(n∈N*)成立.
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)關(guān)于的一元二次方程.
(1)若從, , , 四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù), 是從, , 三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;
(2)若是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù), 是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某物流公司購(gòu)買了一塊長(zhǎng)AM=30米,寬AN=20米的矩形地塊,計(jì)劃把圖中矩形ABCD建設(shè)為倉(cāng)庫(kù),其余地方為道路和停車場(chǎng),要求頂點(diǎn)C在地塊對(duì)角線MN上,B、D分別在邊AM、AN上,假設(shè)AB的長(zhǎng)度為x米
(1)求矩形ABCD的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)要使倉(cāng)庫(kù)占地ABCD的面積不少于144平方米,則AB的長(zhǎng)度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,函數(shù)g(x)=f(x)﹣k.
(1)當(dāng)m=2時(shí),若函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍是;
(2)若存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,M是AB的中點(diǎn).
(I)求證:EM⊥AD;
(II)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值;
(III)在線段EC上是否存在點(diǎn)P,使得直線AP與平面ABE所成的角為45°,若存在,求出 的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,其中a1=b1=1,a2≠b2,且b2為a1、a2的等差中項(xiàng),a2為b2、b3的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=logn(n+1)(n≥2,n∈N*).定義:使乘積a1·a2·a3……ak為正整數(shù)的k(k∈N*)叫做“和諧數(shù)”,則在區(qū)間[1,2018]內(nèi)所有的“和諧數(shù)”的和為
A. 2036 B. 2048 C. 4083 D. 4096
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|.
(Ⅰ)若不等式f(x)≤2的解集為[0,4],求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若x0∈R,使得f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin
(A>0,ω>0)的最小值為-2,其圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為.
(1)求f(x)的最小正周期及對(duì)稱軸方程;
(2)若f,求f的值.
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