Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下（提示：可以用第（2）問的結(jié)論），對任意的，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）m的取值范圍是（3）證明見解析；

【解析】

（1）首先指出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導得到，之后對進行討論，分別令和的解集，求得函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間，即得結(jié)果；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值小于等于零，轉(zhuǎn)化為不等式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得結(jié)果；

（3）對式子進行變形，得到，令，則，從而研究得到結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域為，.

①當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

②當時，令，得，所以在上單調(diào)遞增；

令，得，所以在上單調(diào)遞減.

（2）由題意得，由（1）知，當時，不滿足題意，故，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，故只需即可.

令，則，

所以當時，；當，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，即.

又∵，

所以，解得.

綜上，m的取值范圍是.

（3）證明：，

因為，所以，

由（2）得，時，（時，等號成立）

令，則，因為，所以，即.

因為，所以，即.