Question

10．若a＞0，b＞0，且a²+b²=1．
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值；
（2）求$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）設a=sinθ，b=cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），可得原式=$\frac{\sqrt{1+sin2θ}}{\frac{1}{2}sin2θ}$，令t=$\sqrt{1+sin2θ}$，則t∈（1，$\sqrt{2}$]，可得原式=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，根據分母為增函數，可得t=$\sqrt{2}$時，原式取最小值2$\sqrt{2}$，
（2）$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$=（$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$）（a²+b²）=$\frac{a}$+$\frac{a}$+$\frac{^{3}}{{a}^{3}}$+$\frac{{a}^{3}}{^{3}}$，結合基本不等式，可得答案．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，且a²+b²=1．
∴設a=sinθ，b=cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$=$\frac{\sqrt{1+sin2θ}}{\frac{1}{2}sin2θ}$，
令t=$\sqrt{1+sin2θ}$，則t∈（1，$\sqrt{2}$]，
原式=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
故t=$\sqrt{2}$時，原式取最小值2$\sqrt{2}$，
（2）$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$=（$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$）（a²+b²）=$\frac{a}$+$\frac{a}$+$\frac{^{3}}{{a}^{3}}$+$\frac{{a}^{3}}{^{3}}$≥2+2=4，
故$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$的最小值為4．

點評 本題考查的知識點是基本不等式在求最值時的應用，換元法，轉化思想，函數單調性的性質，難度中檔．