Question

已知橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若．求

Answer 1

（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）.

試題分析：（1）由已知得，又聯(lián)立可解得，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立得到一個(gè)關(guān)于的二次方程，再利用弦長(zhǎng)公式即可求出.
試題解析：（1）由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(>>0)．
由已知b＝1，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035203362285.png" style="vertical-align:middle;" />＝，∴a²＝9，b²＝1.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y²＝1.                 6分
（2）設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由，
得               8分
∴x₁＋x₂＝ ，x₁x₂＝，
∴|AB|＝＝＝.
∴，解得.                12分