Question

如圖，點A，B分別是橢圓

x2

36

+

y2

20

=1的長軸的左右端點，點F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為：

3

x+y-4

3

=0且PA⊥PF．
（1）求直線AP的方程；
（2）設(shè)點M是橢圓長軸AB上一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩直線垂直，求得AP的斜率，利用橢圓方程求得A的坐標(biāo)，然后利用點斜式求得直線AP的方程．
（2）設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式利用題設(shè)建立等式求得m，進(jìn)而可利用兩點間的距離公式，表示出橢圓上的點到點M的距離d，利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）由題意得kAP=

3

3

，A的坐標(biāo)為（-6，0）
則直線AP的方程為：x-

3

y+6=0．
（2）設(shè)M（m，0），則

|m+6|

2

=6-m，解得m=2或m=18（舍去），故M（2，0）．
d2=(x-2)2+y2=

4

9

x2-4x+24，x∈[-6，6]，
所以當(dāng)x=

9

2

時，d_min²=15，即dmin=

15

．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，兩點間的距離公式的運用以及二次函數(shù)的性質(zhì)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)思想的綜合運用．