【題目】對于函數(shù),如果存在實數(shù),且不同時成立),使得恒成立,則稱函數(shù)映像函數(shù)”.

1)判斷函數(shù)是否是映像函數(shù),如果是,請求出相應的的值,若不是,請說明理由;

2)已知函數(shù)是定義在上的映像函數(shù),且當時,.求函數(shù))的反函數(shù);

3)在(2)的條件下,試構造一個數(shù)列,使得當時,,并求時,函數(shù)的解析式,及的值域.

【答案】(1)是“映像函數(shù)”,;(2;(3),值域

【解析】

1)直接由題意列關于a,b的方程組,求解得答案;

2)由題意可得f0)=f3),f1)=f7),而當x[01)時,fx)=2x,則x[3,7)時,設fx)=2sx+t,可得,求得st的值,則函數(shù)解析式可求,把x用含有y的代數(shù)式表示,把x,y互換可得yfx)(x[3,7))的反函數(shù);

3)由(2)可知,構造數(shù)列{an},滿足a10an+12an+1,可得數(shù)列{an+1}是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列,由此求得.當x[an,an+1)=[2n11,2n1),令,解得s21n,t21n1,可得x[an,an+1)(nN*)時,函數(shù)yfx)的解析式為fx,并求得x[0+∞)時,函數(shù)fx)的值域為[1,2).

1)對于,

,則,

恒成立,∴,∵不同時成立,∴,

是“映像函數(shù)”

2)當時,,從而,∵函數(shù)是定義在上的“映像函數(shù)”,

,令,則,∴

),由得,,此時

∴當時,函數(shù)的反函數(shù)是;

3)∵時,,

∴構造數(shù)列,且,于是

是以為首項,為公比的等比數(shù)列,∴,

∴當,即時,

對于函數(shù),∵,令,則

,

∴當時,,

函數(shù)上單調遞增,∴

,

即函數(shù)的值域為.

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年齡

頻數(shù)

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年齡不低于歲的人數(shù)

年齡低于歲的人數(shù)

合計

支持

不支持

合計

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