Question

【題目】已知函數(shù)u（x）=）

（Ⅰ）若曲線u（x）與直線y=0相切，求a的值．

（Ⅱ）若e+1＜a＜2e，設(shè)f（x）=|u（x）|﹣，求證：f（x）有兩個不同的零點(diǎn)x1，x2，且|x2﹣x1|＜e．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1） ； （2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率是0，求出a的值即可；

（Ⅱ）求出必存在x0∈（e，2e），使得u（x0）=0，即=lnx0，通過討論x的范圍，求出函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，從而證明結(jié)論即可．

（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)

又切點(diǎn)在函數(shù)上，即

（Ⅱ）證明:不妨設(shè)， ，所以在上單調(diào)遞減，

又，

所以必存在，使得，即

.

①當(dāng)時，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

注意到，

所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，且. …… 10分

②當(dāng)時, 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

且，

所以在區(qū)間上必存在零點(diǎn)，且.

綜上，有兩個不同的零點(diǎn)、，且.