Question

【題目】橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，該橢圓經(jīng)過點(diǎn) 且離心率為 ．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，

∴

∵以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，∴kADkBD=﹣1，

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，

∴m1=﹣2k， k，且均滿足3+4k2﹣m2＞0，

當(dāng)m1=﹣2k時(shí)，l的方程為y=k（x﹣2），則直線過定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾

當(dāng) 時(shí)，l的方程為 ，則直線過定點(diǎn)

∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】（1）根據(jù)橢圓的方程和簡單幾何性質(zhì)，使用待定系數(shù)法即可；（2）要證明直線系y=kx+m過定點(diǎn)，就要找到其中的參數(shù)k，m之間的關(guān)系，把雙參數(shù)化為但參數(shù)問題解決，這只要根據(jù)直線l：y=kx+m與橢圓C相交A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)即可，這個(gè)問題等價(jià)于橢圓的右頂點(diǎn)與A，B的張角是直角．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．