Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：PB⊥平面DEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)AC，設(shè)AC交BD于O，連結(jié)EO，

∵底面ABCD中矩形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴PA∥EO，

∵EO平面BDE，PA平面BDE，

∴PA∥平面EO

（2）證明：PD⊥底面ABCD，BC底面ABCD，

∴PD⊥BC，

∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，

∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，

∵DE平面PDC，∴BC⊥DE，

∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC，

∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，

又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE平面DEF，EF平面DEF，

∴PB⊥平面DEF．

【解析】（1）連結(jié)AC，設(shè)AC交BD于O，連結(jié)EO，則PA∥EO，由此能證明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，從而BC⊥平面PDC，進(jìn)而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能證明PB⊥平面DEF．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案．