【題目】如圖,矩形ABCD中,AB4,AD2,EDC邊上,且DE1,將△ADE沿AE折到△ADE的位置,使得平面ADE⊥平面ABCE.

(1)求證:AEBD

(2)求三棱錐ABCD的體積.

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析:Ⅰ)連接BDAE于點O,推導(dǎo)出RtABDRtDAE,從而得到OBAE,OD'AE,由此能證明AE⊥平面OBD'.(Ⅱ)由VA﹣BCD'=VD'﹣ABC,能求出三棱錐A﹣BCD'的體積.

解析:

(1)連接BDAE于點O,依題意得 ,所以RtABDRtDAE,

所以∠DAEABD,所以∠AOD90°,所以AEBD,

OBAEODAE,

OBODO,OB,OD在平面OBD內(nèi),

所以AE⊥平面OBD

BD平面OBD,所以AEBD′.

(2)因為平面ADE⊥平面ABCE

(1)知,OD⊥平面ABCE,

所以OD為三棱錐DABC的高,

在矩形ABCD中,AB4,AD2,DE1,所以DO

所以VABCDVDABCSABC·DO.

故三棱錐ABCD的體積為.

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