Question

已知

i

、

j

為互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

a

與

b

的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍是（-∞，-2)∪(-2，

1

2

)∪(-2，

1

2

)．

Answer 1

分析：根據兩個向量夾角是銳角，得到兩個向量的數量積大于零且兩個向量不相等，利用向量的數量積運算和

i

、

j

為互相垂直的單位向量得到不等式，解不等式，得到結果，注意去掉使得向量相等的值．

解答：解：∵

a

與

b

的夾角為銳角，
∴

a

•

b

＞0，
∵

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，
∴

a

•

b

=

i

2+（λ-2）

i

•

j

-2λ

j

2，
∵

i

、

j

為互相垂直的單位向量，
∴

a

•

b

=1-2λ＞0，
∴λ＜

1

2

，
∵

a

≠

b

，
∴λ≠-2
故答案為：（-∞，-2）∪(-2，

1

2

)

點評：向量是數形結合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數問題，好多問題都是以向量為載體．