【題目】已知正△ABC邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)M,N分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AN=BM=1,如圖1所示.將△AMN沿MN折起到△PMN的位置,使線段PC長(zhǎng)為,連接PB,如圖2所示.
(Ⅰ)求證:平面PMN⊥平面BCNM;
(Ⅱ)若點(diǎn)D在線段BC上,且BD=2DC,求二面角M﹣PD﹣C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)推導(dǎo)出AN⊥MN,即PN⊥MN,PN⊥NC,從而PN⊥平面BCNM,由此能證明平面PMN⊥平面BCNM.
(Ⅱ)以N為坐標(biāo)原點(diǎn),NM為x軸,NC為y軸,NP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角M﹣PD﹣C的余弦值.
解:(Ⅰ)證明:依題意,在△AMN中,AM=2,AN=1,∠A,
由余弦定理,,解得,
根據(jù)勾股定理得MN2+AN2=AM2,∴AN⊥MN,即PN⊥MN,
在圖2△PNC中,PN=1,NC=2,PC,
∴PC2=PN2+NC2,∴PN⊥NC,
∵MN∩NC=N,∴PN⊥平面BCNM,
∵PN平面PMN,∴平面PMN⊥平面BCNM.
(Ⅱ)解:以N為坐標(biāo)原點(diǎn),NM為x軸,NC為y軸,NP為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,1),M(,0,0),D(,,0),C(0,2,0),
∴(,0,﹣1),(,,0),
(0,2,﹣1),(,,0),
設(shè)平面MPD的一個(gè)法向量(x,y,z),
則,取y=1,得(,1,3),
設(shè)平面PDC的法向量(a,b,c),
則,取a=1,得(1,,2),
設(shè)二面角M﹣PD﹣C的平面角為θ,由圖知θ是鈍角,
∴cosθ.
二面角M﹣PD﹣C的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F為拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),其中A在x軸上方,O是坐標(biāo)原點(diǎn),若,,則以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.
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【題目】天上有些恒星的亮度是會(huì)變化的,其中一種稱為造父(型)變星,本身體積會(huì)膨脹收縮造成亮度周期性的變化.第一顆被描述的經(jīng)典造父變星是在1784年.
上圖為一造父變星的亮度隨時(shí)間的周期變化圖,其中視星等的數(shù)值越小,亮度越高,則此變星亮度變化的周期、最亮?xí)r視星等,分別約是( )
A.5.5,3.7B.5.4,4.4C.6.5,3.7D.5.5,4.4
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【題目】如圖所示,已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn),在x軸上,離心率e.直線l是的平分線,則橢圓E的方程是_____,l所在的直線方程是_____.
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【題目】在一個(gè)不透明的盒子中裝有4個(gè)大小、形狀、手感完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.現(xiàn)每次有放回地從中任意取出一個(gè)小球,直到標(biāo)有偶數(shù)的球都取到過就停止.小明用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第4次停止摸球的概率,利用計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),每1組中有4個(gè)數(shù)字,分別表示每次摸球的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下21組隨機(jī)數(shù):由此可以估計(jì)恰好在第4次停止摸球的概率為( )
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312
2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
A.B.C.D.
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【題目】已知拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)①若,求證:直線過定點(diǎn);
②若是拋物線上與原點(diǎn)不重合的定點(diǎn),且,求證:直線的斜率為定值,并求出該定值.
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【題目】學(xué)校高三大理班周三上午四節(jié)、下午三節(jié)有六門科目可供安排,其中語文和數(shù)學(xué)各自都必須上兩節(jié)而且兩節(jié)連上,而英語、物理、化學(xué)、生物最多上一節(jié),則不同的功課安排有________種情況.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將曲線方程,先向左平移2個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,得到曲線C.
(1)點(diǎn)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn),寫出曲線C的參數(shù)方程,并求出的最大值;
(2)設(shè)直線l的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)),又直線l與曲線C的交點(diǎn)為E,F,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段EF的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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【題目】如圖,已知中,是的平分線,將沿直線翻折成,在翻折過程中,設(shè)所成二面角的平面角為,,則下列結(jié)論中成立的是( )
A.B.C.D.
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