Question

(本小題滿分14分)
已知函數(shù)（…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最小值為．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）已知且，試解關(guān)于的不等式 ；
（Ⅲ）已知且.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，試求的最大值．

Answer 1

(1) (2)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解最值得到不等式的證明。
(3) 滿足條件的最大整數(shù)的值為3．

解析試題分析：解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/29/d/1vyv44.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故，
因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以．                ……………… 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.
當(dāng)時(shí)，，……… 5分
故不等式可化為：
，
即，      ……………… 6分
得，
所以，當(dāng)時(shí)，不等式的解為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解為．   …………… 8分
（Ⅲ）∵當(dāng)且時(shí)，，
∴.
∴原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為:存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意恒成立.    …………… 10分
令.
∵，∴函數(shù)在為減函數(shù). …………… 11分
又∵，∴.   …………… 12分
∴要使得對(duì)，值恒存在，只須．………… 13分
∵，
且函數(shù)在為減函數(shù)，
∴滿足條件的最大整數(shù)的值為3．…… 14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，屬于中檔題。