解:
(1)①如圖,在直角坐標系xOy內(nèi)做單位圓O,并作出角α、β與-β,使角α的始邊為Ox,交⊙O于點P
1,
終邊交⊙O于P
2;
角β的始邊為OP
2,終邊交⊙O于P
3;角-β的始邊為OP
1,終邊交⊙O于P
4.
則P
1(1,0),P
2(cosα,sinα)
P
3(cos(α+β),sin(α+β)),P
4(cos(-β),sin(-β))
由P
1P
3=P
2P
4及兩點間的距離公式,得
[cos(α+β)-1]
2+sin
2(α+β)=[cos(-β)-cosα]
2+[sin(-β)-sinα]
2展開并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(4分)
②由①易得cos(
-α)=sinα,sin(
-α)=cosα
sin(α+β)=cos[
-(α+β)]=cos[(
-α)+(-β)]
=cos(
-α)cos(-β)-sin(
-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ(6分)
(2)由題意,設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c
則S=
bcsinA=
=bccosA=3>0
∴A∈(0,
),cosA=3sinA
又sin
2A+cos
2A=1,∴sinA=
,cosA=
由題意,cosB=
,得sinB=
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-
(12分)
分析:(I)①建立單位圓,在單位圓中作出角,找出相應的單位圓上的點的坐標,由兩點間距離公式建立方程化簡整理既得;②由誘導公式cos[
-(α+β)]=sin(α+β)變形整理可得.
(II)
,求出角A的正弦,再由
,用cosC=-cos(A+B)求解即可.
點評:本小題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數(shù)間的關系等基礎知識及運算能力.