【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為3.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)P(0,1)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A,B.己知在橢圓C上存在點(diǎn)Q,使得四邊形OAQB是平行四邊形,求Q的坐標(biāo).
【答案】(1)(2)Q(1,)或(﹣1,)
【解析】
(1)結(jié)合橢圓離心率以及右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離,以及,求得,進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)首先判斷直線斜率不存在時,四邊形不可能是平行四邊形,不符合題意.然后設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出根與系數(shù)關(guān)系,求得點(diǎn)坐標(biāo)并代入橢圓方程,由此求得的值,進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo).
(1)設(shè)焦距為2c,
∵橢圓C的離心率為,∴①,
∵右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為3,∴②,
由①,②解得a=2,c=1,故b2=a2﹣c2=3,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
(2)當(dāng)直線l斜率不存在時,四邊形OAQB不可能平行四邊形,故直線l斜率存在
∵直線l過點(diǎn)P(0,1),設(shè)直線l為:,
設(shè)A(,),B(,),
由四邊形OAQB是平行四邊形,得Q(,)
,化簡得:,
,
,
∴Q(,),∵點(diǎn)Q在橢圓C上,
∴,解得,代入Q的坐標(biāo),得
Q(1,)或(﹣1,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某果園今年的臍橙豐收了,果園準(zhǔn)備利用互聯(lián)網(wǎng)銷售.為了更好的銷售,現(xiàn)隨機(jī)摘下了個臍橙進(jìn)行測重,其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)(單位:克),統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖如下圖所示:
(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在,的臍橙中隨機(jī)抽取個,再從這個臍橙中隨機(jī)抽個,求這個臍橙質(zhì)量都不小于克的概率;
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該果園的臍橙樹上大約還有個臍橙待出售,某電商提出兩種收購方案:甲:所有臍橙均以元/千克收購;乙:低于克的臍橙以元/個收購,高于或等于克的以元/個收購.請通過計算為該果園選擇收益最好的方案.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù);
(2)若,且在上的最小值為,證明:當(dāng)時,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),,,,若.
⑴ 求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
⑵ 將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,AD=AP=3,點(diǎn)M是棱PD的中點(diǎn).
(1)求二面角M—AC—D的余弦值;
(2)點(diǎn)N是棱PC上的點(diǎn),已知直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)已知過原點(diǎn)的動直線與圓 相交于不同的兩點(diǎn),.
(1)求圓的圓心坐標(biāo);
(2)求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得直線 與曲線只有一個交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線與曲線的公切線的方程;
(2)設(shè)函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為,求證:關(guān)于的方程有唯一解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:(),圓:(),拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離的最小值為.
(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)如圖,點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn),過點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)A,B(A,B異于點(diǎn)P),問是否存在圓使AB恰為其切線?若存在,求出r的值;若不存在,說明理由.
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