Question

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：
①f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；
②在f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]．
（Ⅰ）判斷函數(shù)y=-x³是否屬于集合M？并說(shuō)明理由．若是，請(qǐng)找出區(qū)間[a，b]；
（Ⅱ）若函數(shù)y=

x-1

+t∈M，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）判斷函數(shù)y=-x³是否屬于集合M即檢驗(yàn)函數(shù)y=-x³是否滿足①②，①可利用導(dǎo)數(shù)判單調(diào)性，②即判斷

-b3= 1 2 a -a3= 1 2 b

是否有解．
（Ⅱ）若函數(shù)y=

x-1

+t∈M，可判斷g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)，故g（x）滿足②即方程g(x)=

1

2

x在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，方法一：平方去根號(hào)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上解的問題，利用實(shí)根分布處理；方法二：可轉(zhuǎn)化為方程

x-1

=

1

2

x-t在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合圖象求解．兩種方法中都要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化．

解答：解：（Ⅰ）y=-x³的定義域是R，
∵y′=-3x²≤0，∴y=-x³在R上是單調(diào)減函數(shù)．
則y=-x³在[a，b]上的值域是[-b³，-a³]．
由

-b3= 1 2 a -a3= 1 2 b.

解得：

a=- 2 2 b= 2 2 .

或

a= 2 2 b=- 2 2 .

（舍去）或

a=0 b=0.

（舍去）
∴函數(shù)y=-x³屬于集合M，且這個(gè)區(qū)間是[-

2

2

，

2

2

]．

（Ⅱ）設(shè)g(x)=

x-1

+t，則易知g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)．
∵g（x）∈M，∴存在區(qū)間[a，b]?[1，+∞），滿足g(a)=

1

2

a，g(b)=

1

2

b．
即方程g(x)=

1

2

x在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
[法一]：方程

x-1

+t=

1

2

x在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
等價(jià)于方程x-1=(

1

2

x-t)2在[2t，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
即方程x²-（4t+4）x+4t²+4=0在[2t，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
根據(jù)一元二次方程根的分布有

(2t)2-(4t+4)•2t+4t2+4≥0 △=(4t+4)2-4(4t2+4)＞0 4t+4 2 ＞2t.

解得0＜t≤

1

2

．
因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是0＜t≤

1

2

．
[法二]：要使方程

x-1

+t=

1

2

x在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
即使方程

x-1

=

1

2

x-t在[1，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
如圖，當(dāng)直線y=

1

2

x-t經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）時(shí)，t=

1

2

，

當(dāng)直線y=

1

2

x-t與曲線y=

x-1

相切時(shí)，
方程

x-1

=

1

2

x-t兩邊平方，得x²-（4t+4）x+4t²+4=0，由△=0，得t=0．
因此，利用數(shù)形結(jié)合得實(shí)數(shù)t的取值范圍是0＜t≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的包含關(guān)系、函數(shù)的定義域、值域問題，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和利用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．