【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面,均為正方形,,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).請建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求解下列問題:

(Ⅰ)求證:異面直線互相垂直;

(Ⅱ)求二面角(鈍角)的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)由各面間的垂直關(guān)系,可建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)一步寫出各點(diǎn)的坐標(biāo),求出坐標(biāo),利用兩者數(shù)量積為可證異面直線 互相垂直;(Ⅱ)通過空間向量間的運(yùn)算,求出平面的法向量,平面,得出平面的法向量為.進(jìn)一步利用二面角與兩平面法向量夾角間的關(guān)系求出二面角的余弦值.

試題解析:

證:因為側(cè)面均為正方形,

所以兩兩互相垂直,如圖所示建立直角坐標(biāo)系

設(shè),則.

(Ⅰ)證明:由上可知:, ,

所以,所以,所以,異面直線互相垂直.

(Ⅱ)解: ,

設(shè)平面的法向量為,則有

,,

,得

又因為平面,所以平面的法向量為,分

因為二面角是鈍角,所以,二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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1)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

2)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,若內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)類對稱點(diǎn),當(dāng)時,試問是否存在類對稱點(diǎn),若存在,請至少求出一個類對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計,該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )

A. B. C. D.

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【題目】已知橢圓 )的左焦點(diǎn)為,離心率為

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 為直線上一點(diǎn),過的垂線交橢圓于, .當(dāng)四邊形是平行四邊形時,求四邊形的面積。

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【題目】某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池,其容積為6400立方米,深度為4米.池底每平方米的造價為120元,池壁每平方米的造價為100元.設(shè)池底長方形的長為x米.

(Ⅰ求底面積,并用含x的表達(dá)式表示池壁面積;

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(參考數(shù)據(jù): ,

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