【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).

1)求的值;

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;

(3)當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1);(2)見解析;(3).

【解析】試題分析:(1)由函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),有f(0)=0,可求出b值,再由

f(1)=﹣f(﹣1),可求出a值.(2)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,需按取值、作差、判斷符號(hào)、下結(jié)論等步驟進(jìn)行.

(3)由f(x)是R上的奇函數(shù)且f(kx2)+f(2x﹣1)>0,可得f(kx2)>f(1-2x), 又由f(x)在R上單調(diào)遞減,有kx2<1-2x.原問題等價(jià)于對(duì)任意都有kx2<1﹣2x成立,采用分離常數(shù)法將不等式轉(zhuǎn)化為k<,則需k<即可,最終問題轉(zhuǎn)化為求g(x)=的最小值問題.

試題解析:

(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,解得b=1,

f(x)= ,又由f(1)=﹣f(﹣1),解得a=2.

(2)證明:由(1)可得:f(x)=

x1<x2 , ∴ ,

則f(x1)﹣f(x2)=,

∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)在R上是減函數(shù).

(3)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

∴f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,等價(jià)于f(kx2)>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x)成立,

∵f(x)在R上是減函數(shù),∴kx2<1﹣2x,

∴對(duì)于任意都有kx2<1﹣2x成立,

∴對(duì)于任意都有k<

設(shè)g(x)=

∴g(x)=,

令t= ,t∈[,2],

則有,∴g(x)min=g(t)min=g(1)=﹣1

∴k<﹣1,即k的取值范圍為(﹣∞,﹣1)

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1)求;

2)證明:對(duì)于任意的, ;

3)當(dāng)時(shí),若不等式上恒定成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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