Question

【題目】已知函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù).

（I）若曲線在點處的切線平行于軸,求的值;

（II）求函數(shù)的極值;

（III）當時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，函數(shù)無極小值；當， 在處取得極小值，無極大值．（3）1

【解析】試題分析：（1）求出，由導數(shù)的幾何意義，解方程即可；（2）解方程，注意分類討論，以確定的符號，從而確定的單調(diào)性，得極大值或極小值（極值點多時，最好列表表示）；（3）題意就是方程無實數(shù)解，即關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解．一般是分類討論， 時，無實數(shù)解， 時，方程變?yōu)?/span>，因此可通過求函數(shù)的值域來求得的范圍．

試題解析：（1）由,得．

又曲線在點處的切線平行于軸,

得,即,解得．

（2）,

①當時, , 為上的增函數(shù),

所以函數(shù)無極值．

②當時,令,得, ．

,; ,．

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

故在處取得極小值,且極小值為,無極大值．

綜上,當時,函數(shù)無極小值

當, 在處取得極小值,無極大值．

（3）當時,

令,

則直線: 與曲線沒有公共點,

等價于方程在上沒有實數(shù)解．

假設(shè),此時, ,

又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾,故．

又時, ,知方程在上沒有實數(shù)解．

所以的最大值為．

解法二:

（1）（2）同解法一．

（3）當時, ．

直線: 與曲線沒有公共點,

等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解,即關(guān)于的方程:

（*）

在上沒有實數(shù)解．

①當時,方程（*）可化為,在上沒有實數(shù)解．

②當時,方程（*）化為．

令,則有．

令,得,

當變化時, 的變化情況如下表:

當時, ,同時當趨于時, 趨于,

從而的取值范圍為．

所以當時,方程（*）無實數(shù)解, 解得的取值范圍是．

綜上,得的最大值為．