Question

已知直線

x

a

+

y

b

=1（a，b為非零實數）與圓x²+y²=100有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有

60

條．

Answer 1

分析：x²+y²=100，整點為（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），
如圖，共12個點，直線

x

a

+

y

b

=1（a，b為非零實數）與x，y軸不平行，不經過原點，任意兩點連線有C₁₂²條，與x，y軸平行有14條，經過原點有6條，其中有兩條既過原點又與x，y軸平行，共有C₁₂²+12-14-6+2=60條這樣的直線．

解答：解：x²+y²=100，整點為（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），
如圖，共12個點，
直線

x

a

+

y

b

=1（a，b為非零實數），
∴直線與x，y軸不平行，不經過原點，
任意兩點連線有C₁₂²條，
與x，y軸平行有14條，經過原點有6條，
其中有兩條既過原點又與x，y軸平行，
∴共有C₁₂²+12-14-6+2=60．
故答案為：60．

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，恰當地借助數形結合進行求解．