精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
(2013•昌平區(qū)一模)已知橢圓M的對稱軸為坐標軸,離心率為
2
2
,且拋物線y2=4
2
x
的焦點是橢圓M的一個焦點.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓M相交于A、B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓M上,O為坐標原點.求點O到直線l的距離的最小值.
分析:(Ⅰ)設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,易求橢圓的焦點,從而可得c值,由離心率可得a,由b2=a2-c2可求得b值;
(Ⅱ)分情況進行討論:當直線l存在斜率時設直線方程為y=kx+m,與橢圓方程聯立消掉y得x的二次方程,有△>0①,設A、B、P點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),
由四邊形OAPB為平行四邊形及韋達定理可把x0,y0表示為k,m的式子,代入橢圓方程關于k,m的方程,從而利用點到直線的距離公式點O到直線l的距離為k的函數,根據函數結構特點即可求得其最小值;當直線l不存在斜率時點O到直線l的距離易求,綜上即可得到答案.
解答:解:(I)設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,
由已知拋物線的焦點為(
2
,0),則c=
2
,由e=
2
2
,得a=2,∴b2=2,
所以橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
2
=1
;
(II)當直線l斜率存在時,設直線方程為y=kx+m,
則由
y=kx+m
x2
4
+
y2
2
=1
消去y得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)>0,①
設A、B、P點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),
則:x0=x1+x2=-
4km
1+2k2
,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=
2m
1+2k2

由于點P在橢圓M上,所以
x02
4
+
y02
2
=1

從而
4k2m2
(1+2k2)2
+
2m2
(1+2k2)2
=1
,化簡得2m2=1+2k2,經檢驗滿足①式.
又點O到直線l的距離為:
d=
|m|
1+k2
=
1
2
+k2
1+k2
=
1-
1
2(1+k2)
1-
1
2
=
2
2
,當且僅當k=0時等號成立,
當直線l無斜率時,由對稱性知,點P一定在x軸上,
從而點P的坐標為(-2,0)或(2,0),直線l的方程為x=±1,所以點O到直線l的距離為1.
所以點O到直線l的距離最小值為
2
2
點評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解,考查分類討論思想、函數思想,韋達定理、判別式解決該類題目的基礎,要熟練掌握.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)復數
2i
1-i
的虛部是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)已知函數f(x)=
1
3
x3-a2x+
1
2
a
(a∈R).
(Ⅰ)若a=1,求函數f(x)在[0,2]上的最大值;
(Ⅱ)若對任意x∈(0,+∞),有f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)設定義域為R的函數f(x)滿足以下條件;則以下不等式一定成立的是( 。
(1)對任意x∈R,f(x)+f(-x)=0;
(2)對任意x1,x2∈[1,a],當x2>x1時,有f(x2)>f(x1).
①f(a)>f(0)
②f(
1+a
2
)>f(
a

③f(
1-3a
1+a
)>f(-3)
④f(
1-3a
1+a
)>f(-a)

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)為了解甲、乙兩廠的產品的質量,從兩廠生產的產品中隨機抽取各10件,測量產品中某種元素的含量(單位:毫克).下表是測量數據的莖葉圖:
規(guī)定:當產品中的此種元素含量滿足≥18毫克時,該產品為優(yōu)等品.
(Ⅰ)試用上述樣本數據估計甲、乙兩廠生產的優(yōu)等品率;
(Ⅱ)從乙廠抽出的上述10件產品中,隨機抽取3件,求抽到的3件產品中優(yōu)等品數ξ的分布列及其數學期望E(ξ);
(Ⅲ)從上述樣品中,各隨機抽取3件,逐一選取,取后有放回,求抽到的優(yōu)等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案