Question

設(shè)函數(shù)，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達(dá)式；
（2）討論g（t）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系求出函數(shù)的最小值，從而求出g（t），
（2）首先求出函數(shù)g（t）的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性和極值的關(guān)系求出g（t）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性和極值．
解答：解：（1）由題意得數(shù)
=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=（sinx-t）²+4t³-3t+4，
又由|t|≤1，可得，當(dāng)sinx=t時(shí)，（sinx-t）²取得最小值，
此時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值，即g（x）=4t³-3t+4，
（2）g（x）=4t³-3t+4，則g′（x）=12t²-3t，t∈（-1，1），
令g′（x）=0可得t=±，
列表如下：

t	（-1，-）	-	（-，）		（，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

易得g（x）在區(qū)間（-1，-）和（，1）上為增函數(shù)，在區(qū)間（-，）上為減函數(shù)，
當(dāng)t=-時(shí)，g（t）取極大值為4，
當(dāng)t=時(shí)，g（t）取極小值為2．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性和極值的關(guān)系，并會(huì)熟練運(yùn)用其相關(guān)性質(zhì)．