Question

（滿分14分）隨機將這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組，每組n個數(shù)，A組最小數(shù)為，最大數(shù)為；B組最小數(shù)為，最大數(shù)為，記
（1）當(dāng)時，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）令C表示事件與的取值恰好相等，求事件C發(fā)生的概率；
（3）對（2）中的事件C,表示C的對立事件，判斷和的大小關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

（1）

	2	3	4	5
P

（2）當(dāng)時，，當(dāng)時
（3）當(dāng)時，當(dāng)時，

試題分析：（1）當(dāng)時，將6個正整數(shù)平均分成A,B兩組，不同的分組方法共有種，所有可能值為2,3,4,5.對應(yīng)組數(shù)分別為4,6,6,4，對應(yīng)概率為，，，，（2）和恰好相等的所有可能值為當(dāng)和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；當(dāng)和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；當(dāng)和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；當(dāng)和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；以此類推：和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；所以當(dāng)時，
當(dāng)時（3）先歸納：當(dāng)時，因此當(dāng)時，即證當(dāng)時，這可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時，，利用階乘作差可得大小.
試題解析：（1）當(dāng)時，所有可能值為2,3,4,5.將6個正整數(shù)平均分成A,B兩組，不同的分組方法共有種，所以的分布列為

	2	3	4	5
P

（2）和恰好相等的所有可能值為
又和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；
和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；
和恰好相等且等于時，不同的分組方法有2種；
所以當(dāng)時，
當(dāng)時
（3）由（2）當(dāng)時，因此
而當(dāng)時，理由如下：
等價于①
用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
當(dāng)時，①式左邊①式右邊所以①式成立
假設(shè)時①式成立，即成立
那么，當(dāng)時，①式左邊

=①式右邊
即當(dāng)時①式也成立
綜合得，對于的所有正整數(shù)，都有成立