Question

（2012•馬鞍山二模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f(x+

3

2

)+f(x)=0，且函數(shù)y=f(x-

3

4

)為奇函數(shù)，給出下列命題：①函數(shù)f（x）的最小正周期是

3

2

；②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：題目中條件：f（x+

3

2

）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，及函數(shù)圖象的平移變換，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性，從而可判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸．

解答：解：①：由題意可得f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x）則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為3，故①錯(cuò)誤
②：由y=f（x-

3

4

）是奇函數(shù)可得其圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，由y=f（x-

3

4

）向左平移

3

4

個(gè)單位長(zhǎng)度可得y=f（x）的圖象，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

3

4

，0）對(duì)稱(chēng)，故②正確
③：由②知，對(duì)于任意的x∈R，都有f（-

3

4

-x）=-f（ -

3

4

+x），用

3

4

+x代換x，可得：f（-

3

2

-x）+f（x）=0
∴f（-

3

2

-x）=-f（x）=f（x+

3

2

）對(duì)于任意的x∈R都成立．令t=

3

2

+x，則f（-t）=f（t），則可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故③正確
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性對(duì)稱(chēng)性等函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)及一些常見(jiàn)結(jié)論的變形．