Question

已知函數(shù)f（x）=xln x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）k為正常數(shù)，設g（x）=f（x）+f（k-x），求函數(shù)g（x）的最小值；
（3）若a＞0，b＞0證明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

Answer 1

解：（1）f′（x）=ln x+1，f′（x）＞0，得x＞；
f′（x）＜0，得0＜x＜，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）．…（3分）
（2）∵g（x）=f（x）+f（k-x）=x ln x+（k-x）ln（k-x），定義域是（0，k）
∴g′（x）=ln x+1-[ln （k-x）+1]=ln …（5分）
由g′（x＞0，得＜x＜k，由g′（x＜0，得0＜x＜，
∴函數(shù)g（x）在（0，） 上單調(diào)遞減；在（，k）上單調(diào)遞增，…（7分）
故函數(shù)g（x）的最小值是：y_min=g（）=kln．…（8分）
（3）∵a＞0，b＞0∴在（2）中取x=，k=2，
可得f（）+f（2-）≥2ln1 f（）+f（）≥0
?ln+ln≥0
?alna+blnb+（a+b）ln2-（a+b）ln（a+b）≥0
?f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b） …（12分）
分析：（1）先對函數(shù)y=f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（2）構造函數(shù)g（x）=f（x）+f（k-x），（k＞0），利用導函數(shù)判斷出g（x）的單調(diào)性，進一步求出g（x）的最小值為 整理可得證．
（3）先研究f（x）在區(qū)間[-e²，-e^-1]上的單調(diào)性，再利用導數(shù)求解f（x）在區(qū)間[-e²，-e^-1]上的最大值問題即可，故只要先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值即得．
點評：本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力，中檔題．