Question

【題目】將2張邊長(zhǎng)均為1分米的正方形紙片分別按甲、乙兩種方式剪裁并廢棄陰影部分．

（1）在圖甲的方式下，剩余部分恰能完全覆蓋某圓錐的表面，求該圓錐的母線長(zhǎng)及底面半徑；
（2）在圖乙的方式下，剩余部分能完全覆蓋一個(gè)長(zhǎng)方體的表面，求長(zhǎng)方體體積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：甲圖對(duì)應(yīng)的圓錐如圖丙，圓錐母線為PA=L，圓錐底面圓半徑為OA=r

則有L+r+ = ， 解得L= ，r=

∴該圓錐的母線長(zhǎng)及底面半徑分別為 分米、 分米

（2）解：圖乙剩余部分覆蓋的長(zhǎng)方體如圖丁所示，設(shè)其棱長(zhǎng)為a，b，c

則2（a+b）=1，2b+c=1a= ，c=1﹣2b

長(zhǎng)方體體積的V=abc=（ ）b（1﹣2b）= ，（0 ）

令g（b）= ，（0 ），g′（b）=4b2﹣4b+ =（3b﹣ ）（2b﹣1）

b 時(shí)，g′（b）＞0，b 時(shí)，g′（b）＜0

∴g（b）在（0， ）遞增，在（ ）遞減，

∴當(dāng)b= 時(shí)，長(zhǎng)方體體積最大值，Vmax=（ ）× ×（1﹣2× ）= ．

【解析】（1）設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，底面半徑為r，則根據(jù)題意可知L+r+r=（正方形的對(duì)角線長(zhǎng)），然后根據(jù)扇形弧長(zhǎng)=底面圓的周長(zhǎng)列出另一個(gè)關(guān)于L、r的方程，兩方程聯(lián)立即可求解；（2）設(shè)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)分別為a、b、c，然后根據(jù)題意將長(zhǎng)方體體積V用b表示，構(gòu)造函數(shù)g（b），利用導(dǎo)數(shù)討論g（b）的單調(diào)性進(jìn)而求出V的最大值.
【考點(diǎn)精析】利用旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球．