在平面直線坐標系xOy中,直線l與拋物y2=2x相交于A、B兩點.

(1)求證:“如果直線l過點(3,0),那么=3”是真命題.

(2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.

(1)證明:設l:x=ty+3,代入拋物線y2=2x,消

x得?

y2-2ty-6=0.?

Ax1,y1),B(x2,y2),?

y1+y2=2t,y1y2=-6,?

=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2?

=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2?

=-6t2+3t2t+9-6=3.?

=3,故為真命題.

(2)解:(1)中命題的逆命題是:若=3,則直線l過點(3,0)是假命題.?

l:x=ty+b,代入拋物線y2=2x,消去xy2-2ty-2b=0.?

Ax1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2t,y1y2=-2b.?

=x1x2+y1y2?

=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2?

=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2?

=-2bt2+bt2t+b2-2b=b2-2b,?

b2-2b=3,得b=3或b=-1.?

此時直線l過點(3,0)或(-1,0).?

故逆命題為假命題.

點評:本題主要考查直線與拋物線的位置關系、平面向量的數(shù)量積運算及四種命題,考查運算能力及利用所學知識與方法解決問題的能力.

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25
-
y2
11
=1
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=
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