【題目】已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1.
(Ⅰ)求證:|a+b+c|≤ ;
(Ⅱ)若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a+b+c)2對一切實數(shù)a,b,c恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)證明:由柯西不等式得,(a+b+c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2),

即有(a+b+c)2≤3,即有|a+b+c|≤ ;

(Ⅱ)解:不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a+b+c)2對一切實數(shù)a,b,c恒成立,

則由(Ⅰ)可知,|x﹣1|+|x+1|≥3,

由x≥1得,2x≥3,解得,x≥

由x≤﹣1,﹣2x≥3解得,x≤﹣ ,

由﹣1<x<1得,2≥3,不成立.

綜上,可得x≥ 或x≤﹣

則實數(shù)x的取值范圍是(﹣ ]∪[


【解析】(Ⅰ)由柯西不等式得,(a+b+c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2),即可得證;(Ⅱ)不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a+b+c)2對一切實數(shù)a,b,c恒成立,則由(Ⅰ)可知,|x﹣1|+|x+1|≥3,運用絕對值的定義,即可解出不等式.
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法和不等式的證明,掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號;不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學歸納法等即可以解答此題.

練習冊系列答案
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A. ,
B.
C. ,
D. ,

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【題目】某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為 ,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為 ,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品.
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(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學期望較大?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義:如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在x0(a<x0<b),滿足f(x0)= ,則稱函數(shù)y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,x0是它的一個均值點.例如y=|x|是[﹣2,2]上的平均值函數(shù),0就是它的均值點.若函數(shù)f(x)=x2﹣mx﹣1是[﹣1,1]上的“平均值函數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍是

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(Ⅰ)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求證:

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(1)求橢圓C的離心率;
(2)直線l:y=kx+m(﹣1≤k≤2)與圓x2+y2=2相切,并與橢圓C交于M,N兩點,求|MN|的取值范圍.

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A.
B.
C.
D.2

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