Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．

（Ⅰ）當(dāng)時，若曲線上存在兩點關(guān)于點成中心對稱，求直線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）在以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)方程為的直線與曲線相交于兩點，若，求實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由題意，得曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

消去參數(shù)，得，圓心坐標(biāo)為．……………2分

∵曲線上存在兩點關(guān)于點成中心對稱，

∴，則由，得，

所以直線的傾斜角為，……………4分

所以直線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）．……………6分

（Ⅱ）消去曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)得，

圓心為，半徑為．……………7分

又直線的極坐標(biāo)方程可化為，……………8分

由，代入上式，得直線的普通方程為，

所以，∴．……………10分

【命題意圖】本題考查直線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線與圓的位置關(guān)系，意在考查轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力．