【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ ,其中a為大于零的常數(shù)..
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值;
(3)求證:對于任意的n∈N* , 且n>1時(shí),都有l(wèi)nn> + +…+ 成立.
【答案】
(1)解:由題意,f′(x)= ﹣ = ,
∵a為大于零的常數(shù),
若使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,
則使ax﹣1≥0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,
即a﹣1≥0,
故a≥1
(2)解:當(dāng)a≥1時(shí),f′(x)>0在(1,2)上恒成立,
這時(shí)f(x)在[1,2]上為增函數(shù)∴f(x)min=f(1)=0.
當(dāng)0<a≤ ,∵f′(x)<0在(1,2)上恒成立,
這時(shí)f(x)在[1,2]上為減函數(shù)∴f(x)min=f(2)=ln2﹣ ,
當(dāng) <a<1時(shí),令f′(x)=0,得x= ∈(1,2).
又∵對于x∈[1, )有f′(x)<0,
對于x∈( ,2]有f′(x)>0,
∴f(x)min=f( )=ln +1﹣ ,
綜上,f(x)在[1,2]上的最小值為
①當(dāng)0<a≤ 時(shí),f(x)min=ln2﹣ ;
②當(dāng) .<a<1時(shí),f(x)min=ln +1﹣ .
③當(dāng)a≥1時(shí),f(x)min=0
(3)證明:由(1)知函數(shù)f(x)= ﹣1+lnx在[1,+∞)上為增函數(shù),
當(dāng)n>1時(shí),∵ >1,∴f( )>f(1),
即lnn﹣ln(n﹣1)> ,對于n∈N*且n>1恒成立.
lnn=[lnn﹣ln(n﹣1)]+[ln(n﹣1)﹣ln(n﹣2)]++[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]> + +…+ ,
∴對于n∈N*,且n>1時(shí),lnn> + +…+ 恒成立
【解析】(1)求導(dǎo),將函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增化為導(dǎo)數(shù)恒不小于0,從而求a的取值范圍;(2)研究閉區(qū)間上的最值問題,先求出函數(shù)的極值,比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最后確定出最小值.(3)由(1)知函數(shù)f(x)= ﹣1+lnx在[1,+∞)上為增函數(shù),構(gòu)造n與n﹣1的遞推關(guān)系,可利用疊加法求出所需結(jié)論
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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A.
B.
C.
D.4
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A.a≥3
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