(2013•昌平區(qū)一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中點,那么(
AB
-
AC
)•
AD
=
2
2
;若E是AB的中點,P是△ABC(包括邊界)內任一點.則
AD
EP
的取值范圍是
[-9,9]
[-9,9]
分析:由條件可得
AD
=
AB
+
AC
2
,故(
AB
-
AC
)•
AD
=(
AB
-
AC
)• 
AB
+
AC
2
=
AB
2
-
AC
2
2
,由此求得(
AB
-
AC
)•
AD
的值.以CA所在的直線為x軸,以CB所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系,利用簡單的線性規(guī)劃求得t=
AD
EP
的取值范圍.
解答:解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中點,那么
AD
=
AB
+
AC
2
,
AB
2
=
AC
2
+
BC
2
=16+4=20.
(
AB
-
AC
)•
AD
=(
AB
-
AC
)• 
AB
+
AC
2
=
AB
2
-
AC
2
2
=
20-16
2
=2.
以CA所在的直線為x軸,以CB所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系,則A的坐標為(4,0),B的坐標為(0,2),
由線段的中點公式可得點D的坐標為(0,1),點E的坐標為(2,1),設點P的坐標為(x,y),
則由題意可得可行域為△ABC及其內部區(qū)域,故有
x≥0
y≥0
x
4
+
y
2
≤1

令t=
AD
EP
=(-4,1)•(x-2,y-1)=7-4x+y,即 y=4x+t-7.
故當直線y=4x+t-7過點A(4,0)時,t取得最小值為7-16+0=-9,
當直線y=4x+t-7過點B(0,2)時,t取得最大值為 7-0+2=9,
故t=
AD
EP
的取值范圍是[-9,9],
故答案為 2,[-9,9].
點評:本題主要考查兩個向量的數(shù)量積運算,線段的中點公式,簡單的線性規(guī)劃問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(2013•昌平區(qū)一模)復數(shù)
2i
1-i
的虛部是( 。

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(2013•昌平區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-a2x+
1
2
a
(a∈R).
(Ⅰ)若a=1,求函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值;
(Ⅱ)若對任意x∈(0,+∞),有f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

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(2013•昌平區(qū)一模)設定義域為R的函數(shù)f(x)滿足以下條件;則以下不等式一定成立的是(  )
(1)對任意x∈R,f(x)+f(-x)=0;
(2)對任意x1,x2∈[1,a],當x2>x1時,有f(x2)>f(x1).
①f(a)>f(0)
②f(
1+a
2
)>f(
a

③f(
1-3a
1+a
)>f(-3)
④f(
1-3a
1+a
)>f(-a)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)為了解甲、乙兩廠的產品的質量,從兩廠生產的產品中隨機抽取各10件,測量產品中某種元素的含量(單位:毫克).下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖:
規(guī)定:當產品中的此種元素含量滿足≥18毫克時,該產品為優(yōu)等品.
(Ⅰ)試用上述樣本數(shù)據(jù)估計甲、乙兩廠生產的優(yōu)等品率;
(Ⅱ)從乙廠抽出的上述10件產品中,隨機抽取3件,求抽到的3件產品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學期望E(ξ);
(Ⅲ)從上述樣品中,各隨機抽取3件,逐一選取,取后有放回,求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)已知橢圓M的對稱軸為坐標軸,離心率為
2
2
,且拋物線y2=4
2
x
的焦點是橢圓M的一個焦點.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓M相交于A、B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓M上,O為坐標原點.求點O到直線l的距離的最小值.

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