符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[π]=3,[-1.08]=-2,定義函數(shù)h(x)=[x]-x,那么下列說(shuō)法:
①函數(shù)h(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?1,0];
②方程h(x)=-
12
有無(wú)數(shù)解;
③函數(shù)h(x)滿(mǎn)足h(x+1)=h(x)恒成立;   
④函數(shù)h(x)是減函數(shù).
正確的序號(hào)是
①②③
①②③
分析:根據(jù)取整函數(shù)的定義,可得函數(shù)h(x)=[x]-x的最小正周期為1,在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)上是減函數(shù),且函數(shù)的值域?yàn)椋?1,0].由此與各個(gè)選項(xiàng)加以比較,即可得到本題的答案.
解答:解:對(duì)于①,根據(jù)[x]的定義,得
當(dāng)x為整數(shù)時(shí),[x]=x,從而h(x)=[x]-x=0,此時(shí)h(x)得最大值;
當(dāng)x的小數(shù)部分不為0時(shí),x-1<[x]<x,故h(x)=[x]-x∈(-1,0).
綜上所述,得h(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?1,0].故①正確.
對(duì)于②,當(dāng)x=k+
1
2
(k∈Z)時(shí),[x]=k,從而h(x)=[x]-x=-
1
2

因此,方程h(x)=-
1
2
的解有無(wú)數(shù)個(gè),故②正確;
對(duì)于③,因?yàn)橐粋(gè)數(shù)增加1個(gè)單位后,它的小數(shù)部分不變,而整數(shù)部分增加1,
因此[x+1]=x+1,從而得到h(x+1)=[x+1]-(x+1)=[x]-x
∴h(x)滿(mǎn)足h(x+1)=h(x)恒成立,得③正確;
對(duì)于④,函數(shù)h(x)=[x]-x在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)上是減函數(shù)
但是由于函數(shù)h(x)是分段函數(shù),圖象不連續(xù),所以函數(shù)h(x)不是R上的減函數(shù),故④不正確.
故答案為:①②③
點(diǎn)評(píng):本題以取整函數(shù)為例,要我們判斷關(guān)于函數(shù)h(x)=[x]-x性質(zhì)的幾個(gè)命題的真假,著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、周期性和函數(shù)的定義域、值域等知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀下列一段材料,然后解答問(wèn)題:對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,符號(hào)[x]表示“不超過(guò)x的最大整數(shù)”,在數(shù)軸上,當(dāng)x是整數(shù),[x]就是x,當(dāng)x不是整數(shù)時(shí),[x]是點(diǎn)x左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn),這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”,也叫高斯(Gauss)函數(shù);如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2;則[log2
1
4
]+[log2
1
3
]+[log2
1
2
]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]
的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[2.5]=3,[-1.1]=-2,定義函數(shù){x}=x-[x],給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù){x}的定義域是R,值域?yàn)閇0,1];
②方程{x}=
1
2
有無(wú)數(shù)解;
③函數(shù){x}是周期函數(shù);
④函數(shù){x}是增函數(shù).
其中真命題的序號(hào)有(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知π=3.141 592 653 589 793 2…,定義函數(shù)f(x)=[x],其中符號(hào)[x]表示“不超過(guò)x的最大整數(shù)”,則f(1010π)-10f(109π)=
5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于實(shí)數(shù)x,符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如[π]=3,[-1.08]=-2,定義函數(shù)f(x)=x-[x],則下列命題中正確的是
②③
②③
(填題號(hào))
①函數(shù)f(x)的最大值為1;              
②函數(shù)f(x)的最小值為0;
③函數(shù)G(x)=f(x)-
12
有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn);    
④函數(shù)f(x)是增函數(shù).

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