設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),并且滿足下面三個(gè)條件:
①對(duì)正數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);
②當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0;
③f(3)=-1
(I)求f(1)和f(
19
)
的值;
(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范圍.
分析:(I)對(duì)于任意的x,y∈(0,+∞),f(x•y)=f(x)+f(y),令x=y=1,x=y=3,即可求得f(1)、f(
1
9
)的值;且當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性.
(II)f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式,解不等式即可求得結(jié)果.
解答:解:(I)∵函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),
對(duì)正數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,得f(1)=0.
而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2 且f(9)+f(
1
9
)=f(1)=0,
得f(
1
9
)=2.
(II)設(shè)0<x1<x2<+∞,由條件(1)可得f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
),
x2
x1
>1,由(2)知f(
x2
x1
)<0,
所以f(x2)<f(x1),
即f(x)在R+上是遞減的函數(shù).
由條件(1)及(I)的結(jié)果得:f[x(2-x)]<f(
1
9
),
由函數(shù)f(x)在R+上的遞減性,得:
x>0
2-x>0
x(2-x)>
1
9
,
由此解得x的范圍是(1-
2
2
3
,1+
2
2
3
).
點(diǎn)評(píng):考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問題,對(duì)于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法,求某些點(diǎn)的函數(shù)值和證明不等式等,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f (x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且滿足f (x-2)=-f (x)對(duì)一切x∈R恒成立,當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f (x)=x3,則下列四個(gè)命題:
①f(x)是以4為周期的周期函數(shù).
②f(x)在[1,3]上的解析式為f (x)=(2-x)3
③f(x)在(
3
2
,f(
3
2
))
處的切線方程為3x+4y-5=0.
④f(x)的圖象的對(duì)稱軸中,有x=±1,其中正確的命題是( 。
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù),若g(x)=f(x)-2x在區(qū)間[2,3]上的值域?yàn)閇-2,6],則函數(shù)g(x)在[-12,12]上的值域?yàn)椋ā 。?/div>

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在正實(shí)數(shù)上的增函數(shù),且f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求證:f(
xy
)=f(x)-f(y);
(2)若f(3)=1,f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x-2)=-f(x)對(duì)一切x∈R都成立,又當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x3,則下列五個(gè)命題:
①函數(shù)y=f(x)是以4為周期的周期函數(shù);
②當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)=( x-2)3
③直線x=±1是函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱軸;
④點(diǎn)(2,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心;
⑤函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(
3
2
,f(
3
2
))處的切線方程為3x-y-5=0.
其中正確的是
①③
①③
.(寫出所有正確命題的序號(hào))

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案