Question

下列幾個(gè)命題：
①函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
②“

a＞0 △=b2-4ax≤0

”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；
③設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于y軸對稱；
④若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則φ=

π

2

+kπ（k∈Z）；⑤已知x∈（0，π），則y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

．
其中正確的有

②④

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷出函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

的奇偶性，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析二次不等式恒成立的充要條件，可判斷②；根據(jù)函數(shù)對稱變換法則，求出函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對稱圖象對應(yīng)的解析式，可判斷③；根據(jù)余弦函數(shù)的奇偶性，求出φ值，可判斷④；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷⑤

解答：解：函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

的定義域A={-1，1}，當(dāng)x∈A時(shí)，函數(shù)f（x）=0恒成立，故f（-x）=f（x），f（-x）=-f（x）均成立，則函數(shù)即是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件是“

a＞0 △=b2-4ax≤0

”，故②正確；
函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對稱圖象對應(yīng)的解析式為y=f（1+x），故③錯(cuò)誤；
若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則cosφ=0，故φ=

π

2

+kπ（k∈Z），故④正確；
令t=sinx，則x∈（0，π）時(shí)，t∈（0，1]，則y=t+

2

t

，由y=t+

2

t

，在區(qū)間（0，1]為減函數(shù)，故當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取最小值3，故⑤錯(cuò)誤
故答案為：②④

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，對稱變換，單調(diào)性等知識點(diǎn)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．