【題目】定義:對于任意,滿足條件且(M是與n無關(guān)的常數(shù))的無窮數(shù)列稱為M數(shù)列.
(1)若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,判斷數(shù)列是否是M數(shù)列,并說明理由;
(2)若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,證明:數(shù)列是M數(shù)列,并指出M的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列,問數(shù)列是否是M數(shù)列?請說明理由.
【答案】(1)數(shù)列不是M數(shù)列,證明見解析;(2)數(shù)列是M數(shù)列,證明見解析,M的取值范圍為;(3)當(dāng)時(shí),數(shù)列是M數(shù)列.
【解析】
(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)求等差數(shù)列的的公差,然后借助M數(shù)列的條件即可判斷數(shù)列是否是M數(shù)列;
(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)求等比數(shù)列的公比,求前項(xiàng)和,然后借助M數(shù)列的條件判斷,,即可得出結(jié)論數(shù)列是M數(shù)列,并可得出M的取值范圍;
(3)先假設(shè)數(shù)列是M數(shù)列,然后由滿足M數(shù)列的條件, 恒成立,去絕對值討論滿足條件的的取值范圍,最后得出答案.
(1) 數(shù)列不是M數(shù)列,證明如下:
設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:,得,所以,則等差數(shù)列是遞增等差數(shù)列,恒有,即得數(shù)列無最大值,不滿足,故數(shù)列不是M數(shù)列;
(2) 設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可得,所以由,,
解得,則,所以,,,
所以,即,滿足,
由,且,滿足,即滿足M數(shù)列的條件,故數(shù)列是M數(shù)列,且M,所以M的取值范圍為.
(3)若數(shù)列是M數(shù)列,則滿足,由
可得:, 恒成立,
當(dāng)時(shí),可得,
令,由恒成立,可得:
若,則由,可得;
若,則由,可得(舍);
若,則由,可得(舍),
所以當(dāng)時(shí),由可得,
當(dāng)時(shí),由,可得恒成立,
所以當(dāng)時(shí),, 恒成立,
又因?yàn)榇藭r(shí)恒成立,
綜上可得:當(dāng)時(shí),數(shù)列滿足M數(shù)列的性質(zhì)要求,
所以當(dāng)時(shí),數(shù)列是M數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次數(shù)學(xué)考試中,從甲、乙兩個(gè)班各抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,兩個(gè)班樣本成績的莖葉圖如圖所示.
(1)用樣本估計(jì)總體,若根據(jù)莖葉圖計(jì)算得甲乙兩個(gè)班級的平均分相同,求的值;
(2)從甲班的樣本不低于90分的成績中任取2名學(xué)生的成績,求這2名學(xué)生的成績不相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體中,,,,平面截長方體得到一個(gè)矩形,且,.
(1)求截面把該長方體分成的兩部分體積之比;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,、為橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線,過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是關(guān)于的方程組的解.
(1)求證:;
(2)設(shè)分別為三邊長,試判斷的形狀,并說明理由;
(3)設(shè)為不全相等的實(shí)數(shù),試判斷是“”的 條件,并證明.①充分非必要;②必要非充分;③充分且必要;④非充分非必要.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當(dāng)時(shí),求的零點(diǎn);
(2)若函數(shù)存在極小值點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日之一節(jié)日期間,各大商場各種品牌的“粽子戰(zhàn)”便悄然打響.某記者走訪市場發(fā)現(xiàn),各大商場粽子種類繁多,價(jià)格不一根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,得到了某商場不同種類的粽子銷售價(jià)格(單位:元/千克)的頻數(shù)分布表,如表一所示.
表一:
價(jià)格/(元/千克) | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) |
種類數(shù) | 4 | 12 | 16 | 6 | 2 |
在調(diào)查中,記者還發(fā)現(xiàn),各大品牌在餡料方面還做足了功課,滿足了市民多樣化的需求除了蜜棗、豆沙等傳統(tǒng)餡料粽,很多品牌還推出了鮮肉、巧克力、海鮮等特色餡料粽在該商場內(nèi),記者隨機(jī)對100名顧客的年齡和粽子口味偏好進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果如表二.
表二:
喜歡傳統(tǒng)餡料粽 | 喜歡特色餡料粽 | 總計(jì) | |
40歲以下 | 30 | 15 | 45 |
40歲及以上 | 50 | 5 | 55 |
總計(jì) | 80 | 20 | 100 |
(1)根據(jù)表一估計(jì)該商場粽子的平均銷售價(jià)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)根據(jù)表二信息能否有95%的把握認(rèn)為顧客的粽子口味偏好與年齡有關(guān)?
參考公式和數(shù)據(jù):(其中為樣本容量)
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),(,不同于點(diǎn)),直線與直線:交于點(diǎn).連接,過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程,并求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:,,三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)整數(shù)集合,其中 ,且對于任意,若,則
(1)請寫出一個(gè)滿足條件的集合;
(2)證明:任意;
(3)若,求滿足條件的集合的個(gè)數(shù).
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