【題目】動(dòng)圓過定點(diǎn),且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為4.
(1)若動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線,求曲線的方程;
(2)在曲線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使過點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)滿足為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1).(2)存在點(diǎn),定值為.
【解析】
(1)設(shè),由題意知:,利用距離公式及弦長(zhǎng)公式可得方程,化簡(jiǎn)可得P的軌跡方程;
(2)假設(shè)存在,設(shè),由題意知直線的斜率必不為0,設(shè)直線的方程,與拋物線聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系可求得,當(dāng)時(shí),上式,與無關(guān),為定值.
(1)設(shè),由題意知:.
當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí),過做,交于點(diǎn),則為的中點(diǎn),
,.
又,
,化簡(jiǎn)得;
當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí),易知點(diǎn)與點(diǎn)重合.也滿足,
曲線的方程為.
(2)假設(shè)存在,滿足題意.
設(shè).由題意知直線的斜率必不為0,
設(shè)直線的方程為.
由得.,.
,.
,
,
,
.
,
當(dāng)時(shí),上式,與無關(guān),為定值.
存在點(diǎn),使過點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)滿足為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線與軸交點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”已成為當(dāng)下熱門的運(yùn)動(dòng)方式,小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”,他隨機(jī)選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
步數(shù) 性別 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”,否則為“懈怠型”,根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)?
積極型 | 懈怠型 | 總計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
總計(jì) |
(2)若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計(jì)其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人,其中每日走路不超過5000步的有人,超過10000步的有人,設(shè),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asinB=bsin(A+).
(1)求A;
(2)若b,a,c成等差數(shù)列,△ABC的面積為2,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn).直線的斜率為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角三角形中,、分別在線段、上,.沿著將折至如圖,使.
(1)若是線段的中點(diǎn),試在線段上確定點(diǎn)的位置,使面;
(2)在(1)條件下,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(為參數(shù)).在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,直線的極坐標(biāo)方程為..
(1)試求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(用普通方程表示)
(2)設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡為曲線,若曲線上存在四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是等比數(shù)列的公比大于,其前項(xiàng)和為,是等差數(shù)列,已知,,,.
(1)求,的通項(xiàng)公式
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求;
(3)設(shè),其中,求
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【題目】目前,新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐,為了解新冠肺炎傳播途徑,采取有效防控措施,某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息,數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如下圖所示的頻率分布直方圖(用頻率作為概率).潛伏期不高于平均數(shù)的患者,稱為“短潛伏者”,潛伏期高于平均數(shù)的患者,稱為“長(zhǎng)潛伏者”.
(1)求這500名患者潛伏期的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),并計(jì)算出這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù);
(2)為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,從上述500名患者中抽取300人,得到如下列聯(lián)表,請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為潛伏期長(zhǎng)短與患者年齡有關(guān);
短潛伏者 | 長(zhǎng)潛伏者 | 合計(jì) | |
60歲及以上 | 90 | ||
60歲以下 | 140 | ||
合計(jì) | 300 |
(3)研究發(fā)現(xiàn),某藥物對(duì)新冠病毒有一定的抑制作用,需要在抽取的300人中分層選取7位60歲以下的患者做Ⅰ期臨床試驗(yàn),再從選取的7人中隨機(jī)抽取兩人做Ⅱ期臨床試驗(yàn),求兩人中恰有1人為“長(zhǎng)潛伏者”的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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