Question

給出下列五個命題：
①若4^a=3，log₄5=b，則log4

9

5

=a2-b；
②函數(shù)f(x)=0.51+2x-x2的單調(diào)遞減區(qū)間是[1，+∞）；
③m≥-1，則函數(shù)y=lg（x²-2x-m）的值域為R；
④若映射f：A→B為單調(diào)函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；
⑤函數(shù)y=e^x的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則f（e³）=3．
其中正確的命題是

③④⑤

（把你認為正確的命題序號都填在橫線上）

Answer 1

分析：由已知可得log₄3=a，log₄5=b，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可判斷①的真假；
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可判斷②的真假；
由于對數(shù)函數(shù)值域是R，則只需讓真數(shù)取遍（0，+∞）內(nèi)的所有實數(shù)即可，即需讓（0，+∞）為函數(shù)t=x²-2x-m值域的子集，求出m的范圍可判斷③的真假．
根據(jù)單調(diào)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)一一映射的定義，可判斷④的真假
根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x對稱，求出函數(shù)y=f（x）的解析式，代入求值，可判斷⑤的真假．

解答：解：由4^a=3可得log₄3=a，結(jié)合log₄5=b，可得log4

9

5

=log₄9-log₄5=2log₄3-log₄5=2a-b，故①錯誤；
函數(shù)y=0.5^u為減函數(shù)，函數(shù)u=1+2x-x²在區(qū)間[1，+∞）上也為減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，故②錯誤；
由于對數(shù)函數(shù)y=lg（x²-2x-m）的值域是R，則需讓真數(shù)t=x²-2x-m的值取遍（0，+∞）內(nèi)的所有實數(shù)，即△=4+4m≥0，解得m≥-1，故③正確．
對于④，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義知函數(shù)必為一一映射，反之，由一一映射確定的函數(shù)關(guān)系不一定是單函數(shù)，所以④正確．
函數(shù)y=e^x的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則y=f（x）=lnx，∴f（e³）=lne³=3，故⑤正確
故答案為：③④⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性，反函數(shù)等知識點，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．