Question

（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，

使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不

存在，試說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解（證明）（1）因為 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD．

因為 △BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以 AD＝AC＝．

設G為CD的中點，則CG＝，AG＝．

所以 ，，．

三棱錐D－ABC的表面積為

（2）取AC的中點H，因為 AB＝BC，所以 BH⊥AC．

因為 AF＝3FC，所以 F為CH的中點．

因為 E為BC的中點，所以 EF∥BH．則EF⊥AC．

因為 △BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．

因為 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．

因為 AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．

因為 DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF

（3）存在這樣的點N，

當CN＝時，MN∥平面DEF．

連CM，設CM∩DE＝O，連OF．

由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．

所以 當CF＝CN時，MN∥OF．所以 CN＝

【解析】略