【題目】已知λ,μ為常數(shù),且為正整數(shù),λ≠1,無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n,Sn=λan﹣μ.記數(shù)列{an}中任意兩不同項(xiàng)的和構(gòu)成的集合為A.
(1)證明:無(wú)窮數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求λ的值;
(2)若2015∈A,求μ的值;
(3)對(duì)任意的n∈N*,記集合Bn={x|3μ2n﹣1<x<3μ2n,x∈A}中元素的個(gè)數(shù)為bn,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)見解析;
(2)31或403;
(3)bn=n(n∈N*)
【解析】
(1)證明:∵Sn=λan﹣μ.當(dāng)n≥2時(shí),Sn﹣1=λan﹣1﹣μ,
∴an=λan﹣λan﹣1,λ≠1,∴,
∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列,
∵各項(xiàng)均為正整數(shù),則公比=為正整數(shù),λ為正整數(shù),
∴λ=2.
(2)解:由(1)可得:Sn=2an﹣μ,當(dāng)n=1時(shí),a1=μ,則an=μ2n﹣1,
∴A={μ(2i﹣1+2j﹣1)|1≤i<j,i,j∈N*},
∵2015∈A,∴2015=μ(2i﹣1+2j﹣1)=μ2i﹣1(1+2j﹣i)=5×13×31,
∵j﹣i>0,則1+2j﹣i必為不小于3的奇數(shù),
∵2i﹣1為偶數(shù)時(shí),上式不成立,因此必有2i﹣1=1,∴i=1,
∴μ(1+2j﹣1)=5×13×31,
只有j=3,μ=403或j=7,μ=31時(shí),上式才成立,
∴μ=31或403.
(3)解:當(dāng)n≥1時(shí),集合Bn={x|3μ2n﹣1<x<3μ2n,x∈A},
即3μ2n﹣1<μ(2i﹣1+2j﹣1)<3μ2n,1≤i<j,i,j∈N*.Bn中元素個(gè)數(shù),
等價(jià)于滿足3×2n<2i+2j<3×2n+1的不同解(i,j),
若j>n+2,則2i+2j≥2i+2n+3=2i+4×2n+1>3×2n+1,矛盾.
若j<n+2,則2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n,矛盾.
∴j=n+2,又∵(21+2n+2)﹣3×2n=2+4×2n﹣3×2n=2+2n>0,
∴3×2n<21+2n+2<22+2n+2<…<2n+1+2n+2=3×2n+1,
即i=1,2,…,n時(shí),共有n個(gè)不同的解(i,j),即共有n個(gè)不同的x∈Bn,
∴bn=n(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn)其中,求的最小值;
(3)證明:>(n∈N*,n≥2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ,
(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線l與x軸交于點(diǎn)P,與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】祖暅原理“冪勢(shì)既同,則積不容異”中的“冪”指面積,“勢(shì)”即是高,意思是:若兩個(gè)等高的幾何體在所有等高處的水平截面的面積恒等,則這兩幾何體的體積相等.設(shè)夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體的體積分別為,它們被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為,則“恒成立”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)θ∈[0,π],且f(θ)1,求θ的值;
(2)在△ABC中,AB=1,f(C)1,且△ABC的面積為,求sinA+sinB的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求和的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于,與交于,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,由每班隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,若一班有名學(xué)生,將每一學(xué)生編號(hào)從到,請(qǐng)從隨機(jī)數(shù)表的第行第、列(下表為隨機(jī)數(shù)表的前行)開始,依次向右,直到取足樣本,則第五個(gè)編號(hào)為_________.
7816 | 6514 | 0802 | 6314 | 0702 | 4369 | 9728 | 0198 |
3204 | 9234 | 4935 | 8200 | 3623 | 4869 | 6938 | 7481 |
7816 | 6514 | 0802 | 6314 | 0702 | 4369 | 9728 | 0198 |
3204 | 9234 | 4935 | 8200 | 3623 | 4869 | 6938 | 7481 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x-ax+(a-1),。
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:若,則對(duì)任意x,x,xx,有。
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