Question

（2011•寧波模擬）已知：圓x²+y²=1過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線(xiàn)y=kx+m與圓x²+y²=1相切，與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=

OA

•

OB

，且

2

3

≤λ≤

3

4

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求橢圓的方程，只需求出a，b的值，因?yàn)閳Ax²+y²=1過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)，可求出a，因?yàn)閳Ax²+y²=1與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，可求出b，橢圓的方程可知．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�(xiàn)y=kx+m與圓x²+y²=1相切，可把m用k表示，再讓直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，把λ用k表示，根據(jù)λ的范圍，就可求出k的范圍．
（Ⅲ）因?yàn)椤鱋AB的面積S=

1

2

|AB|•d，把|AB|用k表示，d=1，這樣，S就可用含k的式子表示了，再把（2）中求出的k的范圍代入，就可得到△OAB的面積S的取值范圍．

解答：解；（Ⅰ）由題意知，橢圓的焦距2c=2∴c=1
又∵圓x²+y²=1與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴b=1，∴a=

2

∴圓的方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）∵直線(xiàn)y=kx+m與圓x²+y²=1相切，∴原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1
把直線(xiàn)y=kx+m代入橢圓

x2

2

+y2=1，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），則

x1+x2=- 4km 2k2+1 x1x2= 2(m2-1) 2k2+1

λ=

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）

2(m2-1)

2k2+1

-

4k2m2

2k2+1

+m²
∵

2

3

≤λ≤

3

4

，∴

2

3

≤

k2 +1

2k2+1

≤

3

4

，解得，

1

2

≤k²≤1
∴k的取值范圍是[-1，-

2

2

]∪[

2

2

，1]；
（Ⅲ）|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[(-

4km

2k2+1

)2-4

2(m2-1)

2k2+1

]=（1+k²）[

16k2(k2+1)

(2k2+1)2

-

8k2

2k2+1

]
=（1+k²）

8k2

(2k2+1)2

=2-

2

(2k2+1)2

S_△OAB²=

1

4

|AB|²×1=

1

4

（2-

2

(2k2+1)2

）
∵

1

2

≤k²≤1，∴

2

9

≤

2

(2k2+1)2

≤

1

2

∴

3

2

≤2-

2

(2k2+1)2

≤

16

9

，∴

3

8

≤

1

4

(2-

2

(2k2+1)2

)≤

4

9

即

3

8

≤S_△OAB²=≤

4

9

∴

6

4

≤S_△OAB≤

2

3

∴△OAB的面積S的取值范圍為[

6

4

，

2

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及橢圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷．做題時(shí)要細(xì)心．