Question

設函數f（ｘ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）上是奇函數，又f（ｘ）在（０，＋∞）上是減函數，并且f（ｘ）＜０，指出F（ｘ）＝在（－∞，０）上的增減性?并證明.

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：設ｘ１，ｘ２∈（－∞，０），且ｘ１＜ｘ２， 則－ｘ１＞－ｘ２＞０ ∵f（ｘ）在(0，＋∞)上是減函數. ∴f（－ｘ１）＜f（－ｘ２）    ① 又∵f（ｘ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）上是奇函數， ∴f（－ｘ１）＝－f（ｘ１），f（－ｘ２）＝－f（ｘ２） 由①式得－f（ｘ１）＜－f（ｘ２） ∴f（ｘ１）＞f（ｘ２） 當ｘ１＜ｘ２＜０時，F（ｘ２）－F（ｘ１）＝－ ∵F（ｘ２）－F（ｘ１）＝ 又∵f（ｘ）在（０，＋∞）上總小于0. ∴f（ｘ１）＝－f（－ｘ１）＞０，f（ｘ２）＝－f（－ｘ２）＞０ 又f（ｘ１）＞f（ｘ２） ∴F（ｘ２）－F（ｘ１）＞０且ｘ１－ｘ２＜０， 故F（ｘ）＝在（－∞，０）上是增函數