【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)滿足,對任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)≥x,且當(dāng)x∈(1,3)時(shí),有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)證明:f(2)=2;
(2)若f(﹣2)=0,求f(x)的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)g(x)=f(x)﹣ x,x∈[0,+∞),若g(x)圖象上的點(diǎn)都位于直線y= 的上方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)證明:由條件知:f(2)=4a+2b+c≥2成立,
又另取x=2時(shí), 成立,
∴f(2)=2
(2)解:∵ ,∴ ,4a+c=1,
又f(x)≥x恒成立,即ax2+(b﹣1)x+c≥0在R上恒成立,
∴a>0且△=(b﹣1)2﹣4ac≤0, ,
解得: ,
所以
(3)解:由題意可得:g(x)= + 在[0,+∞)時(shí)必須恒成立,即x2+4(1﹣m)x+2>0在[0,+∞)時(shí)恒成立,
則有以下兩種情況:
①△<0,即16(1﹣m)2﹣8<0,解得
② ,解得: ,
綜上所述:
【解析】(1)由已知f(2)≥2成立,又由f(x))≤ (x+2)2成立,得f(2)≤ =2,根據(jù)兩種情況可得f(2)值;f(﹣2)=0,由上述證明知f(2)=2,f(x)的表達(dá)式中有三個(gè)未知數(shù),由兩函數(shù)值只能得出兩個(gè)方程,再對任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)≥x,這一恒成立的關(guān)系得到 0,由此可以得到a= ,將此三方程聯(lián)立可解出三個(gè)參數(shù)的值,求出f(x)的表達(dá)式;(3)g(x)= + 在[0,+∞)時(shí)必須恒成立,即x2+4(1﹣m)x+2>0在x∈[0,+∞)恒成立.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與x軸在x∈[0,+∞)無交點(diǎn)的問題,由于g(x)的單調(diào)性不確定,故本題要分兩種情況討論,一種是對稱軸在y軸右側(cè),此時(shí)需要判別式小于0,一類是判別式大于0,對稱軸小于0,且x=0處的函數(shù)值大于等于0,轉(zhuǎn)化出相應(yīng)的不等式求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若是函數(shù)是極值點(diǎn),1是函數(shù)零點(diǎn),求實(shí)數(shù),的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若對任意,都存在(為自然對數(shù)的底數(shù)),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠有4臺大型機(jī)器,在一個(gè)月中,一臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障,且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的,出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修,每臺機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為.
(1)若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為,求的分布列;
(2) 該廠至少有多少名工人才能保證每臺機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%?
(3)已知一名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力,每月需支付給每位工人1萬元的工資,每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修,就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤,若該廠現(xiàn)有2名工人,求該廠每月獲利的均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價(jià)格從花市購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購進(jìn)17支玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(單位:元),關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:枝, 的解析式;
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得如表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)16枝玫瑰花或每天購進(jìn)17枝玫瑰花,分別計(jì)算這100天花店的日利潤(單位:元)的平均數(shù),并以此作為決策依據(jù),花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)16枝還是17枝玫瑰花?
②若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為概率,求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,且此函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,5).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)判斷f(x)奇偶性;
(3)討論函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的單調(diào)性?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),若函數(shù)存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù),且f(x)>0恒成立,若對任意的x,y∈R,都有f(x﹣y)= ,
(1)求f(0)的值,并證明對任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y);
(2)若f(﹣1)=3,解不等式 ≤9.
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【題目】下列說法中,正確的是 . (填序號)
①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一個(gè)元素,則k=1;
②在同一平面直角坐標(biāo)系中,y=2x與y=2﹣x的圖象關(guān)于y軸對稱;
③y=( )﹣x是增函數(shù);
④定義在R上的奇函數(shù)f(x)有f(x)f(﹣x)≤0.
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