Question

（本小題滿分12分）

在如圖所示的幾何體中，平面，∥，是的中點(diǎn)，

，，．

（Ⅰ）證明 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

   圖7

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解法一（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)、．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412075310934099/SYS201205241209204687907697_DA.files/image006.png">∥，∥，所以∥．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412075310934099/SYS201205241209204687907697_DA.files/image009.png">，，所以．

所以四邊形是平行四邊形，∥．                    ……分

在等腰中，是的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412075310934099/SYS201205241209204687907697_DA.files/image017.png">平面，平面，所以．

而，所以平面．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412075310934099/SYS201205241209204687907697_DA.files/image013.png">∥，所以平面．                        ……分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412075310934099/SYS201205241209204687907697_DA.files/image024.png">平面，平面，所以平面平面．

過(guò)點(diǎn)作于，則平面，所以．

過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)，則平面，所以．

所以是二面角的平面角．                                      ……分

在中，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412075310934099/SYS201205241209204687907697_DA.files/image045.png">，所以是等邊三角形．又，所以

 ，．

在中，．

所以二面角的余弦值是．                                              ……分

解法二  （Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412075310934099/SYS201205241209204687907697_DA.files/image017.png">平面，∥，所以平面．

故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，

，，．         ……分                   

所以，，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412075310934099/SYS201205241209204687907697_DA.files/image068.png">，，

所以，．而，所以平面． ……分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由 得

即．取，則．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由 得

即．取，，則．

                                                                                                           ……分

設(shè)二面角的大小為，則

．                             

故二面角的余弦值是．       ……分