(本小題共14分)如圖,在三棱錐中,底面

,點(diǎn),分別在棱上,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)當(dāng)的中點(diǎn)時,求與平面所成的角的大;(Ⅲ)是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角?并說明理由.

(Ⅱ).


解析:

【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.

(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.

,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

(Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn),DE//BC,

,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,

∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,

∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP為等腰直角三角形,

,∴在Rt△ABC中,,∴.∴在Rt△ADE中,,∴與平面所成的角的大小.

(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP為二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E,使得AE⊥PC,這時,故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.

【解法2】如圖,以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由已知可得

.

(Ⅰ)∵,∴,∴BC⊥AP.

又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.

(Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn),DE//BC,∴E為PC的中點(diǎn),

,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,∵,

.∴與平面所成的角的大小.

(Ⅲ)同解法1.

練習(xí)冊系列答案
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(07年北京卷理)(本小題共14分)

如圖,在中,,斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角是直二面角.動點(diǎn)的斜邊上.

(I)求證:平面平面;

(II)當(dāng)的中點(diǎn)時,求異面直線所成角的大;

(III)求與平面所成角的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(07年北京卷文)(本小題共14分)

如圖,在中,,斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角的直二面角.的中點(diǎn).

(I)求證:平面平面

(II)求異面直線所成角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題共14分)如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形,,,⊥底面.

(1)證明:平面平面;

(2)若二面角,求與平面所成角的正弦值。

 

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(本小題共14分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,,CC1=4,M是棱CC1上一點(diǎn).

(Ⅰ)求證:BC⊥AM;

(Ⅱ)若M,N分別是CC1,AB的中點(diǎn),求證:CN //平面AB1M;

(Ⅲ)若,求二面角A-MB1-C的大小.

 

 

 

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(本小題共14分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分別是CC1,AB的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:CN⊥AB1;

(Ⅱ)求證:CN //平面AB1M.

 

 

 

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