(2013•門頭溝區(qū)一模)已知數(shù)列{An}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,滿足下列條件
①?n∈N*,an≠0;
②點(diǎn)Pn(an,Sn)在函數(shù)f(x)=
x2+x2
的圖象上;
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn;
(II)求證:0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|<1.
分析:(I)由題意Sn=
an2+an
2
,當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1,由此可得兩遞推式,分情況可判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列或等差數(shù)列,從而可求得通項(xiàng)an,進(jìn)而求得Sn;
(II)分情況討論:當(dāng)當(dāng)an+an-1=0時(shí),Pn((-1)n-1,
1-(-1)n
2
)
,計(jì)算可得|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=
5
,從而易得|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|的值;當(dāng)an-an-1-1=0時(shí),Pn(n,
n2+n
2
)
,利用兩點(diǎn)間距離公式可求得|Pn+1Pn+2|,|PnPn+1|,對(duì)|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|化簡后,再放縮即可證明結(jié)論;
解答:(I)解:由題意Sn=
an2+an
2
,
當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=
an2+an
2
-
an-12+an-1
2
,
整理,得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
又?n∈N*,an≠0,所以an+an-1=0或an-an-1-1=0,
當(dāng)an+an-1=0時(shí),a1=1,
an
an-1
=-1

an=(-1)n-1,Sn=
1-(-1)n
2
;
當(dāng)an-an-1-1=0時(shí),a1=1,an-an-1=1,
得an=n,Sn=
n2+n
2

(II)證明:當(dāng)an+an-1=0時(shí),Pn((-1)n-1,
1-(-1)n
2
)

|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=
5
,所以|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=0,
當(dāng)an-an-1-1=0時(shí),Pn(n,
n2+n
2
)
,
|Pn+1Pn+2|=
1+(n+2)2
,|PnPn+1|=
1+(n+1)2
,
|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=
1+(n+2)2
-
1+(n+1)2

=
1+(n+2)2-1-(n+1)2
1+(n+2)2
+
1+(n+1)2

=
2n+3
1+(n+2)2
+
1+(n+1)2

因?yàn)?span id="pfffzv5" class="MathJye">
1+(n+2)2
>n+2,
1+(n+1)2
>n+1,
所以0<
2n+3
1+(n+2)2
+
1+(n+1)2
<1,
綜上0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|<1.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,考查分類討論思想,解決本題的關(guān)鍵是利用an與Sn的關(guān)系先求得an
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•門頭溝區(qū)一模)為得到函數(shù)y=sin(π-2x)的圖象,可以將函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)的圖象( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•門頭溝區(qū)一模)定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“等比函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù):
①f(x)=2x
②f(x)=log2|x|;
③f(x)=x2;
④f(x)=ln2x
則其中是“等比函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為
③④
③④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•門頭溝區(qū)一模)如圖已知平面α,β,且α∩β=AB,PC⊥α,PD⊥β,C,D是垂足.
(Ⅰ)求證:AB⊥平面PCD;
(Ⅱ)若PC=PD=1,CD=
2
,試判斷平面α與平面β的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•門頭溝區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
2,        x≥0
x2+4x+2,  x<0
的圖象與直線y=k(x+2)-2恰有三個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案