Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，且直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓的左頂點(diǎn)的兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，以及直線與圓相切.，可得求解即可.

（2）由題意知，設(shè)：，，與橢圓方程聯(lián)立，分別求得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，寫出MN的直線方程化簡(jiǎn)即可.，

（1）由題意可得：，

即，解得，

，

∴橢圓的方程為：

（2）由題意知，設(shè)：，.

由消去得：，

解得：或（舍去），

，同理可得：.

i：當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，

，

所以

即，

∴直線過定點(diǎn).

ii：當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，

直線方程為：，也過定點(diǎn)，

綜上所述：直線過定點(diǎn).